[이것이 코딩 테스트다] 5. 이진 탐색

www.youtube.com/watch?v=94RC-DsGMLo&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC&index=5

 

이진 탐색 알고리즘

• 순차 탐색: 리스트 안에 있는 특정한 데이터를 찾기 위해 앞에서부터 데이터를 하나씩 확인하는 방법
• 이진 탐색: 정렬되어 있는 리스트에서 탐색 범위를 절반씩 좁혀가며 데이터를 탐색하는 방법
  • 이진 탐색은 시작점, 끝점, 중간점을 이용하여 탐색 범위를 설정한다

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이진 탐색 동작 예시

• 이미 정렬된 10개의 데이터 중에서 값이 4인 원소를 찾는 예시를 살펴보자

• [Step 1] 시작점: 0, 끝점: 9, 중간점: 4 (소수점 이하 제거)

• [Step 2] 시작점:0, 끝점: 3, 중간점: 1 (소수점 이하 제거)

• [Step 3] 시작점: 2, 끝점: 3, 중간점: 2 (소수점 이하 제거)

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이진 탐색의 시간 복잡도

• 단계마다 탐색 범위를 2로 나누는 것과 동일하므로 연산 횟수는 log₂𝑁에 비례한다
• 예를 들어 초기 데이터 개수가 32개일 때, 이상적으로 1단계를 거치면 16개가량의 데이터만 남는다
  • 2단계를 거치면 8개가량의 데이터만 남는다
  • 3단계를 거치면 4개가량의 데이터만 남는다
• 다시 말해 이진 탐색은 탐색 범위를 절반씩 줄이며, 시간 복잡도는 𝑂(log𝑁) 을 보장한다

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이진 탐색 소스코드: 재귀적 구현 (Python)

# 이진 탐색 소스코드 구현 (재귀 함수)
def binary_search(array, target, start, end):
    if start > end:
        return None
    mid = (start + end) // 2
    # 찾은 경우 중간점 인덱스 반환
    if array[mid] == target:
        return mid
    # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인
    elif array[mid] > target:
        return binary_search(array, target, start, mid - 1)
    # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 큰 경우 오른쪽 확인
    else:
        return binary_search(array, target, mid + 1, end)

# n(원소의 개수)과 target(찾고자 하는 값)을 입력 받기
n, target = list(map(int, input().split()))
# 전체 원소 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))

# 이진 탐색 수행 결과 출력
result = binary_search(array, target, 0, n - 1)
if result == None:
    print("원소가 존재하지 않습니다")
else:
    print(result + 1)

실행 결과

10 7 ⮐
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ⮐
4

10 7 ⮐
1 3 5 6 9 11 13 15 17 19 ⮐
원소가 존재하지 않습니다

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이진 탐색 소스코드: 재귀적 구현 (Java)

import java.util.*;

public class Main {

    // 이진 탐색 소스코드 구현(재귀 함수)
    public static int binarySearch(int[] arr, int target, int start, int end) {
        if (start > end) return -1;
        int mid = (start + end) / 2;
        // 찾은 경우 중간점 인덱스 반환
        if (arr[mid] == target) return mid;
        // 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인
        else if (arr[mid] > target) return binarySearch(arr, target, start, mid - 1);
        // 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 큰 경우 오른쪽 확인
        else return binarySearch(arr, target, mid + 1, end);
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        // 원소의 개수(n)와 찾고자 하는 값(target)을 입력받기 
        int n = sc.nextInt();
        int target = sc.nextInt();

        // 전체 원소 입력받기 
        int[] arr = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            arr[i] = sc.nextInt();
        }

        // 이진 탐색 수행 결과 출력 
        int result = binarySearch(arr, target, 0, n - 1);
        if (result == -1) {
            System.out.println("원소가 존재하지 않습니다.");
        }
        else {
            System.out.println(result + 1);
        }
    }

}

실행 결과

10 7 ⮐
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ⮐
4

10 7 ⮐
1 3 5 6 9 11 13 15 17 19 ⮐
원소가 존재하지 않습니다

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이진 탐색 소스코드: 반복문 구현 (Python)

# 이진 탐색 소스코드 구현 (반복문)
def binary_search(array, target, start, end):
    while start <= end:
        mid = (start + end) // 2
        # 찾은 경우 중간점 인덱스 반환
        if array[mid] == target:
            return mid
        # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인
        elif array[mid] > target:
            end = mid - 1
        # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 큰 경우 오른쪽 확인
        else:
            start = mid + 1
    return None

# n(원소의 개수)과 target(찾고자 하는 값)을 입력 받기
n, target = list(map(int, input().split()))
# 전체 원소 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))

# 이진 탐색 수행 결과 출력
result = binary_search(array, target, 0, n - 1)
if result == None:
    print("원소가 존재하지 않습니다.")
else:
    print(result + 1)

실행 결과

10 7 ⮐
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ⮐
4

10 7 ⮐
1 3 5 6 9 11 13 15 17 19 ⮐
원소가 존재하지 않습니다

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이진 탐색 소스코드: 반복문 구현 (Java)

import java.util.*;

public class Main {

    // 이진 탐색 소스코드 구현(반복문)
    public static int binarySearch(int[] arr, int target, int start, int end) {
        while (start <= end) {
            int mid = (start + end) / 2;
            // 찾은 경우 중간점 인덱스 반환
            if (arr[mid] == target) return mid;
            // 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인
            else if (arr[mid] > target) end = mid - 1;
            // 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 큰 경우 오른쪽 확인
            else start = mid + 1; 
        }
        return -1;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        // 원소의 개수(n)와 찾고자 하는 값(target)을 입력받기 
        int n = sc.nextInt();
        int target = sc.nextInt();

        // 전체 원소 입력받기 
        int[] arr = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            arr[i] = sc.nextInt();
        }

        // 이진 탐색 수행 결과 출력 
        int result = binarySearch(arr, target, 0, n - 1);
        if (result == -1) {
            System.out.println("원소가 존재하지 않습니다.");
        }
        else {
            System.out.println(result + 1);
        }
    }

}

실행 결과

10 7 ⮐
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ⮐
4

10 7 ⮐
1 3 5 6 9 11 13 15 17 19 ⮐
원소가 존재하지 않습니다

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파이썬 이진 탐색 라이브러리

• bisect_left(a, x): 정렬된 순서를 유지하면서 배열 a에 x를 삽입할 가장 왼쪽 인덱스를 반환
• bisect_right(a, x): 정렬된 순서를 유지하면서 배열 a에 x를 삽입할 가장 오른쪽 인덱스를 반환

from bisect import bisect_left, bisect_right

a = [1, 2, 4, 4, 8]
x = 4

print(bisect_left(a, x))
print(bisect_right(a, x))

실행 결과

2
4

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값이 특정 범위에 속하는 데이터 개수 구하기

from bisect import bisect_left, bisect_right

# 값이 [left_value, right_value]인 데이터의 개수를 반환하는 함수
def count_by_range(a, left_value, right_value):
    right_index = bisect_right(a, right_value)
    left_index = bisect_left(a, left_value)
    return right_index - left_index

# 배열 선언
a = [1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 8, 9]

# 값이 4인 데이터 개수 출력
print(count_by_range(a, 4, 4))
print(count_by_range(a, -1, 3))

실행 결과

2
6

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파라메트릭 서치 (Parametric Search)

• 파라메트릭 서치란 최적화 문제를 결정 문제('예' 혹은 '아니오')로 바꾸어 해결하는 기법이다
  • 예시: 특정한 조건을 만족하는 가장 알맞은 값을 빠르게 찾는 최적화 문제
• 일반적으로 코딩 테스트에서 파라메트릭 서치 문제는 이진 탐색을 이용하여 해결할 수 있다

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<문제> 떡볶이 떡 만들기: 문제 설명

• 오늘 동빈이는 여행 가신 부모님을 대신해서 떡집 일을 하기로 했다. 오늘은 떡볶이 떡을 만드는 날이다.
  동빈이네 떡볶이 떡은 재밌게도 떡볶이 떡의 길이가 일정하지 않다. 대신에 한봉지 안에 들어가는
  떡의 총 길이는 절단기로 잘라서 맞춰준다
• 절단기에 높이(H) 를 지정하면 줄지어진 떡을 한 번에 절단한다. 높이가 H보다 긴 떡은 H 위의 부분이
  잘릴 것이고, 낮은 떡은 잘리지 않는다
• 예를 들어 높이가 19, 14, 10, 17cm인 떡이 나란히 있고 절단기 높이를 15cm로 지정하면 자른 뒤
  떡의 높이는 15, 14, 10, 15cm가 될 것이다. 잘린 떡의 길이는 차례대로 4, 0, 0, 2cm이다.
  손님은 6cm만큼의 길이를 가져간다
• 손님이 왔을 때 요청한 총 길이가 M일 때 적어도 M만큼의 떡을 얻기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의
  최댓값을 구하는 프로그램을 작성하세요

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<문제> 떡볶이 떡 만들기: 문제 조건

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<문제> 떡볶에 떡 만들기: 문제 해결 아이디어

• 적절한 높이를 찾을 때까지 이진 탐색을 수행하여 높이 H를 반복하여 조정하면 된다

• '현재 이 높이로 자르면 조건을 만족할 수 있는가?'를 확인한 뒤에 조건의 만족 여부('예' 혹은 '아니오')
  에 따라서 탐색 범위를 좁혀서 해결할 수 있다

• 절단기의 높이는 0부터 10억까지의 정수 중 하나이다

  • 이렇게 큰 탐색 범위를 보면 가장 먼저 이진 탐색을 떠올려야 한다

• 문제에서 제시된 예시를 통해 그림으로 이해해 보자

• [Step 1] 시작점: 0, 끝점: 19, 중간점: 9 이때 필요한 떡의 크기: M = 6이므로, 결과 저장

• [Step 2] 시작점: 10, 끝점: 19, 중간점: 14 이때 필요한 떡의 크기: M = 6이므로, 결과 저장

• [Step 3] 시작점: 15, 끝점: 19, 중간점: 17 이때 필요한 떡의 크기: M = 6이므로, 결과 저장

• [Step 4] 시작점: 15, 끝점: 16, 중간점: 15 이때 필요한 떡의 크기: M = 6이므로, 결과 저장

• 이러한 이진 탐색 과정을 반복하면 답을 도출할 수 있다
• 중간점의 값은 시간이 지날수록 '최적화된 값'이 되기 때문에, 과정을 반복하면서 얻을 수 있는 떡의 길이 합이
  필요한 떡의 길이보다 크거나 같을 때마다 중간점의 값을 기록하면 된다

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<문제> 떡볶이 떡 만들기: 답안 예시 (Python)

# 떡의 개수(N)와 요청한 떡의 길이(M)을 입력
n, m = list(map(int, input().split(' ')))
# 각 떡의 개별 높이 정보를 입력
array = list(map(int, input().split()))

# 이진 탐색을 위한 시작점과 끝점 설정
start = 0
end = max(array)

# 이진 탐색 수행 (반복적)
result = 0
while(start <= end):
    total = 0
    mid = (start + end) // 2
    for x in array:
        # 잘랐을 때의 떡볶이 양 계산
        if x > mid:
            total += x - mid
    # 떡볶이 양이 부족한 경우 더 많이 자르기 (오른쪽 부분 탐색)
    if total < m:
        end = mid - 1
    # 떡볶이 양이 충분한 경우 덜 자르기 (왼쪽 부분 탐색)
    else:
        result = mid # 최대한 덜 잘랐을 때가 정답이므로, 여기에서 result에 기록
        start = mid + 1

# 정답 출력
print(result)

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<문제> 떡볶이 떡 만들기: 답안 예시 (Java)

import java.util.*;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        // 떡의 개수(N)와 요청한 떡의 길이(M)
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();

        // 각 떡의 개별 높이 정보 
        int[] arr = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            arr[i] = sc.nextInt();
        }

        // 이진 탐색을 위한 시작점과 끝점 설정
        int start = 0;
        int end = (int) 1e9;
        // 이진 탐색 수행 (반복적)
        int result = 0; 
        while (start <= end) {
            long total = 0;
            int mid = (start + end) / 2;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                // 잘랐을 때의 떡의 양 계산
                if (arr[i] > mid) total += arr[i] - mid; 
            }
            if (total < m) { // 떡의 양이 부족한 경우 더 많이 자르기(왼쪽 부분 탐색)
                end = mid - 1;
            }
            else { // 떡의 양이 충분한 경우 덜 자르기(오른쪽 부분 탐색)
                result = mid; // 최대한 덜 잘랐을 때가 정답이므로, 여기에서 result에 기록 
                start = mid + 1;
            }
        }

        System.out.println(result);
    }

}

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<문제> 정렬된 배열에서 특정 수의 개수 구하기: 문제 설명

• N개의 원소를 포함하고 있는 수열이 오름차순으로 정렬되어 있다. 이때 이 수열에서 x가 등장하는 횟수를
  계산하라. 예를 들어 수열 {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3}이 있을 때 x = 2라면, 현재 수열에서 값이 2인
  원소가 4개이므로 4를 출력한다
• 단, 이 문제는 시간 복잡도 O(logN) 으로 알고리즘을 설계하지 않으면 시간 초과 판정을 받는다

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<문제> 정렬된 배열에서 특정 수의 개수 구하기: 문제 조건

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<문제> 정렬된 배열에서 특정 수의 개수 구하기: 문제 해결 아이디어

• 시간 복잡도 O(logN) 으로 동작하는 알고리즘을 요구하고 있다
  • 일반적인 선형 탐색(Linear Search)로는 시간 초과 판정을 받는다
  • 하지만 데이터가 정렬되어 있기 때문에 이진 탐색을 수행할 수 있다
• 특정 값이 등장하는 첫 번째 위치와 마지막 위치를 찾아 위치 차이를 계산해 문제를 해결할 수 있다

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<문제> 정렬된 배열에서 특정 수의 개수 구하기: 답안 예시 (Python)

from bisect import bisect_left, bisect_right

# 값이 [left_value, right_value]인 데이터의 개수를 반환하는 함수
def count_by_range(array, left_value, right_value):
    right_index = bisect_right(array, right_value)
    left_index = bisect_left(array, left_value)
    return right_index - left_index

n, x = map(int, input().split()) # 데이터의 개수 N, 찾고자 하는 값 x 입력 받기
array = list(map(int, input().split())) # 전체 데이터 입력 받기

# 값이 [x, x] 범위에 있는 데이터의 개수 계산
count = count_by_range(array, x, x)

# 값이 x인 원소가 존재하지 않는다면
if count == 0:
    print(-1)
# 값이 x인 원소가 존재한다면
else:
    print(count)