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www.youtube.com/watch?v=KGyK-pNvWos&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC&index=4
정렬 알고리즘
- 정렬(Sorting) 이란 데이터를 특정한 기준에 따라 순서대로 나열하는 것
- 일반적으로 문제 상황에 따라서 적절한 정렬 알고리즘이 공식처럼 사용됨
선택 정렬
- 처리되지 않은 데이터 중에서 가장 작은 데이터를 선택해 맨 앞에 있는 데이터와 바꾸는 것을 반복한다
선택 정렬 동작 예시
- 정렬할 데이터를 준비한다
- [Step 0] 처리되지 않은 데이터 중 가장 작은 '0'을 선택해 가장 앞의 '7'과 바꾼다
- [Step 1] 처리되지 않은 데이터 중 가장 작은 '1'을 선택해 가장 앞의 '5'와 바꾼다
- [Step 2] 처리되지 않은 데이터 중 가장 작은 '2'를 선택해 가장 앞의 '9'와 바꾼다
- [Step 3] 처리되지 않은 데이터 중 가장 작은 '3'을 선택해 가장 앞의 '7'과 바꾼다
- 이러한 과정을 반복하면 다음과 같이 정렬이 완료된다
선택 정렬 소스코드 (Python)
array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]
for i in range(len(array)):
min_index = i # 가장 작은 원소의 인덱스
for j in range(i + 1, len(array)):
if array[min_index] > array[j]:
min_index = j
array[i], array[min_index] = array[min_index], array[i] # 스와프
print(array)실행 결과
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]선택 정렬 소스코드 (Java)
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int n = 10;
int[] arr = {7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8};
for (int i = 0; i < n; i++) {
int min_index = i; // 가장 작은 원소의 인덱스
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
if (arr[min_index] > arr[j]) {
min_index = j;
}
}
// 스와프
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[min_index];
arr[min_index] = temp;
}
for(int i = 0; i < n; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
}
}실행 결과
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9선택 정렬의 시간 복잡도
- 선택 정렬은 N번 만큼 가장 작은 수를 찾아서 맨 앞으로 보내야 한다
- 구현 방식에 따라서 사소한 오차는 있을 수 있지만, 전체 연산 횟수는 다음과 같다
𝑁 + (𝑁 - 1) + (𝑁 - 2) + ... + 2
- 이는 (𝑁² + 𝑁 - 2) / 2 로 표현할 수 있는데, 빅오 표기법에 따라서 O(N²) 이라고 작성한다
삽입 정렬
- 처리되지 않은 데이터를 하나씩 골라 적절한 위치에 삽입한다
- 선택 정렬에 비해 구현 난이도가 높은 편이지만, 일반적으로 더 효율적으로 동작한다
삽입 정렬 동작 예시
- [Step 0] 첫 번째 데이터 '7'은 그 자체로 정렬이 되어 있다고 판단하고, 두 번째 데이터인 '5'가 어떤 위치로
들어갈지 판단한다. '7'의 왼쪽으로 들어가거나 오른쪽으로 들어가거나 두 경우만 존재한다
- [Step 1] 이어서 '9'가 어떤 위치로 들어갈지 판단한다
- [Step 2] 이어서 '0'이 어떤 위치로 들어갈지 판단한다
- [Step 3] 이어서 '3'이 어떤 위치로 들어갈지 판단한다
- 이러한 과정을 반복하면 다음과 같이 정렬이 완료된다
삽입 정렬 소스코드 (Python)
array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]
for i in range(1, len(array)):
for j in range(i, 0, -1): # 인덱스 i부터 1까지 1씩 감소하며 반복하는 문법
if array[j] < array[j - 1]: # 한 칸씩 왼쪽으로 이동
array[j], array[j - 1] = array[j - 1], array[j]
else: # 자기보다 작은 데이터를 만나면 그 위치에서 멈춤
break
print(array)실행 결과
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]삽입 정렬 소스코드 (Java)
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int n = 10;
int[] arr = {7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8};
for (int i = 1; i < n; i++) {
// 인덱스 i부터 1까지 감소하며 반복하는 문법
for (int j = i; j > 0; j--) {
// 한 칸씩 왼쪽으로 이동
if (arr[j] < arr[j - 1]) {
// 스와프(Swap)
int temp = arr[j];
arr[j] = arr[j - 1];
arr[j - 1] = temp;
}
// 자기보다 작은 데이터를 만나면 그 위치에서 멈춤
else break;
}
}
for(int i = 0; i < n; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
}
}실행 결과
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9삽입 정렬의 시간 복잡도
- 삽입 정렬의 시간 복잡도는 O(N²) 이며, 선택 정렬과 마찬가지로 반복문이 두 번 중첩되어 사용된다
- 삽입 정렬은 현재 리스트의 데이터가 거의 정렬되어 있는 상태라면 매우 빠르게 동작한다
- 최선의 경우 O(N) 의 시간 복잡도를 가진다
- 이미 정렬되어 있는 상태에서 다시 삽입 정렬을 수행하면 어떻게 될까?
퀵 정렬
- 기준 데이터를 설정하고 그 기준보다 큰 데이터와 작은 데이터의 위치를 바꾸는 방법이다
- 일반적인 상황에서 가장 많이 사용되는 정렬 알고리즘 중 하나이다
- 병합 정렬과 더불어 대부분의 프로그래밍 언어의 정렬 라이브러리의 근간이 되는 알고리즘이다
- 가장 기본적인 퀵 정렬은 첫 번째 데이터를 기준 데이터(Pivot)로 설정한다
퀵 정렬 동작 예시
- [Step 0] 현재 피벗의 값은 '5'이다. 왼쪽에서부터 '5'보다 큰 데이터를 선택하므로 '7'이 선택되고
오른쪽에서부터 '5'보다 작은 데이터를 선택하므로 '4'가 선택된다. 이제 이 두 데이터의 위치를 서로 변경한다
- [Step 1] 현재 피벗의 값은 '5'이다. 왼쪽에서부터 '5'보다 큰 데이터를 선택하므로 '9'가 선택되고
오른쪽에서부터 '5'보다 작은 데이터를 선택하므로 '2'가 선택된다. 이제 이 두 데이터의 위치를 서로 변경한다
- [Step 2] 현재 피벗의 값은 '5'이다. 왼쪽에서부터 '5'보다 큰 데이터를 선택하므로 '6'이 선택되고
오른쪽에서부터 '5'보다 작은 데이터를 선택하므로 '1'이 선택된다. 단, 이처럼 위치가 엇갈리는 경우 '피벗'과
'작은 데이터'의 위치를 서로 변경한다
- [분할 완료] 이제 '5'의 왼쪽에 있는 데이터는 모두 5보다 작고, 오른쪽에 있는 데이터는 모두 '5'보다 크다는
특징이 있다. 이렇게 피벗을 기준으로 데이터 묶음을 나누는 작업을 분할(Divide)이라고 한다
- [왼쪽 데이터 묶음 정렬] 왼쪽에 있는 데이터에 대해서 마찬가지로 정렬을 수행한다
- [오른쪽 데이터 묶음 정렬] 오른쪽에 있는 데이터에 대해서 마찬가지로 정렬을 수행한다
- 이러한 과정을 반복하면 전체 데이터에 대해서 정렬이 수행된다
퀵 정렬이 빠른 이유: 직관적인 이해
- 이상적인 경우 분할이 절반씩 일어난다면 전체 연산 횟수로 O(NlogN) 를 기대할 수 있다
- 너비 X 높이 = 𝑁 × 𝑙𝑜𝑔𝑁 = 𝑁𝑙𝑜𝑔𝑁
퀵 정렬의 시간 복잡도
- 퀵 정렬은 평균의 경우 O(NlogN) 의 시간 복잡도를 가진다
- 하지만 최악의 경우 O(N²) 의 시간 복잡도를 가진다
- 첫 번째 원소를 피벗으로 삼을 때, 이미 정렬된 배열에 대해서 퀵 정렬을 수행하면 어떻게 될까?
퀵 정렬 소스코드: 일반적인 방식 (Python)
array = [5, 7, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]
def quick_sort(array, start, end):
if start >= end: # 원소가 1개인 경우 종료
return
pivot = start # 피벗은 첫 번째 원소
left = start + 1
right = end
while(left <= right):
# 피벗보다 큰 데이터를 찾을 때까지 반복
while(left <= end and array[left] <= array[pivot]):
left += 1
# 피벗보다 작은 데이터를 찾을 때까지 반복
while(right > start and array[right] >= array[pivot]):
right -= 1
if(left > right): # 엇갈렸다면 작은 데이터와 피벗을 교체
array[right], array[pivot] = array[pivot], array[right]
else: # 엇갈리지 않았다면 작은 데이터와 큰 데이터를 교체
array[left], array[right] = array[right], array[left]
# 분할 이후 왼쪽 부분과 오른쪽 부분에서 각각 정렬 수행
quick_sort(array, start, right - 1)
quick_sort(array, right + 1, end)
quick_sort(array, 0, len(array) - 1)
print(array)실행 결과
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]퀵 정렬 소스코드: 일반적인 방식 (Java)
import java.util.*;
public class Main {
public static void quickSort(int[] arr, int start, int end) {
if (start >= end) return; // 원소가 1개인 경우 종료
int pivot = start; // 피벗은 첫 번째 원소
int left = start + 1;
int right = end;
while (left <= right) {
// 피벗보다 큰 데이터를 찾을 때까지 반복
while (left <= end && arr[left] <= arr[pivot]) left++;
// 피벗보다 작은 데이터를 찾을 때까지 반복
while (right > start && arr[right] >= arr[pivot]) right--;
// 엇갈렸다면 작은 데이터와 피벗을 교체
if (left > right) {
int temp = arr[pivot];
arr[pivot] = arr[right];
arr[right] = temp;
}
// 엇갈리지 않았다면 작은 데이터와 큰 데이터를 교체
else {
int temp = arr[left];
arr[left] = arr[right];
arr[right] = temp;
}
}
// 분할 이후 왼쪽 부분과 오른쪽 부분에서 각각 정렬 수행
quickSort(arr, start, right - 1);
quickSort(arr, right + 1, end);
}
public static void main(String[] args) {
int n = 10;
int[] arr = {7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8};
quickSort(arr, 0, n - 1);
for(int i = 0; i < n; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
}
}실행 결과
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9퀵 정렬 소스코드: 파이썬의 장점을 살린 방식
array = [5, 7, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]
def quick_sort(array):
# 리스트가 하나 이하의 원소만을 담고 있다면 종료
if len(array) <= 1:
return array
pivot = array[0] # 피벗은 첫 번째 원소
tail = array[1:] # 피벗을 제외한 리스트
left_side = [x for x in tail if x <= pivot] # 분할된 왼쪽 부분
right_side = [x for x in tail if x > pivot] # 분할된 오른쪽 부분
# 분할 이후 왼쪽 부분과 오른쪽 부분에서 각각 정렬을 수행하고, 전체 리스트를 반환
return quick_sort(left_side) + [pivot] + quick_sort(right_side)
print(quick_sort(array))실행 결과
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]계수 정렬
- 특정한 조건이 부합할 때만 사용할 수 있지만 매우 빠르게 동작하는 정렬 알고리즘이다
- 계수 정렬은 데이터의 크기 범위가 제한되어 정수 형태로 표현할 수 있을 때 사용 가능
- 데이터의 개수가 𝑁, 데이터(양수) 중 최댓값이 𝐾일 때 최악의 경우에도 수행 시간 O(N + K) 를 보장한다
계수 정렬 동작 예시
- [Step 0] 가장 작은 데이터부터 가장 큰 데이터까지의 범위가 모두 담길 수 있도록 리스트를 생성한다
- [Step 1] 데이터를 하나씩 확인하며 데이터의 값과 동일한 인덱스의 데이터를 1씩 증가시킨다
- [Step 2] 데이터를 하나씩 확인하며 데이터의 값과 동일한 인덱스의 데이터를 1씩 증가시킨다
- [Step 3] 데이터를 하나씩 확인하며 데이터의 값과 동일한 인덱스의 데이터를 1씩 증가시킨다
- [Step 15] 결과적으로 최종 리스트에는 각 데이터가 몇 번씩 등장했는지 그 횟수가 기록된다
- 결과를 확인할 때는 리스트의 첫 번째 데이터부터 하나씩 그 값만큼 반복하여 인덱스를 출력한다
계수 정렬 소스코드 (Python)
# 모든 원소의 값이 0보다 크거나 같다고 가정
array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 9, 1, 4, 8, 0, 5, 2]
# 모든 범위를 포함하는 리스트 선언 (모든 값은 0으로 초기화)
count = [0] * (max(array) + 1)
for i in range(len(array)):
count[array[i]] += 1 # 각 데이터에 해당하는 인덱스의 값 증가
for i in range(len(count)): # 리스트에 기록된 정렬 정보 확인
for j in range(count[i]):
print(i, end=' ') # 띄어쓰기를 구분으로 등장한 횟수만큼 인덱스 출력실행 결과
0 0 1 1 2 2 3 4 5 5 6 7 8 9 9계수 정렬 소스코드 (Java)
import java.util.*;
public class Main {
public static final int MAX_VALUE = 9;
public static void main(String[] args) {
int n = 15;
// 모든 원소의 값이 0보다 크거나 같다고 가정
int[] arr = {7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 9, 1, 4, 8, 0, 5, 2};
// 모든 범위를 포함하는 배열 선언(모든 값은 0으로 초기화)
int[] cnt = new int[MAX_VALUE + 1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
cnt[arr[i]] += 1; // 각 데이터에 해당하는 인덱스의 값 증가
}
for (int i = 0; i <= MAX_VALUE; i++) { // 배열에 기록된 정렬 정보 확인
for (int j = 0; j < cnt[i]; j++) {
System.out.print(i + " "); // 띄어쓰기를 기준으로 등장한 횟수만큼 인덱스 출력
}
}
}
}계수 정렬의 복잡도 분석
- 계수 정렬의 시간 복잡도와 공간 복잡도는 모두 O(N + K) 이다
- 계수 정렬은 때에 따라서 심각한 비효율성을 초래할 수 있다
- 데이터가 0과 999,999로 단 2개만 존재하는 경우를 생각해 보자
- 계수 정렬은 동일한 값을 가지는 데이터가 여러개 등장할 때 효과적으로 사용할 수 있다
- 성적의 경우 100점을 맞은 학생이 여러 명일 수 있기 때문에 게수 정렬이 효과적이다
정렬 알고리즘 비교하기
- 앞서 다룬 네 가지 정렬 알고리즘을 비교하면 다음과 같다
- 추가적으로 대부분의 프로그래밍 언어에서 지원하는 표준 정렬 라이브러리는 최악의 경우에도 O(NlogN) 을
보장하도록 설계되어 있다
| 정렬 알고리즘 | 평균 시간 복잡도 | 공간 복잡도 | 특징 |
|---|---|---|---|
| 선택 정렬 | O(N²) | O(N) | 아이디어가 매우 간단하다 |
| 삽입 정렬 | O(N²) | O(N) | 데이터가 거의 정렬되어 있을 때는 가장 빠르다 |
| 퀵 정렬 | O(NlogN) | O(N) | 대부분의 경우에 가장 적합하며, 충분히 빠르다 |
| 계수 정렬 | O(N + K) | O(N + K) | 데이터의 크기가 한정되어 있는 경우에만 사용이 가능하지만 매우 빠르게 동작한다 |
선택 정렬과 기본 정렬 라이브러리 수행 시간 비교
from random import randint
import time
# 배열에 10,000개의 정수를 삽입
array = []
for _ in range(10000):
array.append(randint(1, 100)) # 1부터 100 사이의 랜덤한 정수
# 선택 정렬 프로그램 성능 측정
start_time = time.time()
# 선택 정렬 프로그램 소스코드
for i in range(len(array)):
min_index = i # 가장 작은 원소의 인덱스
for j in range(i + 1, len(array)):
if array[min_index] > array[j]:
min_index = j
array[i], array[min_index] = array[min_index], array[i] # 스와프
end_time = time.time() # 측정 종료
print("선택 정렬 성능 측정:", end_time - start_time) # 수행 시간 출력
# 배열을 다시 무작위 데이터로 초기화
array = []
for _ in range(10000):
array.append(randint(1, 100)) # 1부터 100 사이의 랜덤한 정수
# 기본 정렬 라이브러리 성능 측정
start_time = time.time()
# 기본 정렬 라이브러리 사용
array.sort()
end_time = time.time() # 측정 종료
print("기본 정렬 라이브러리 성능 측정:", end_time - start_time) # 수행 시간 출력실행 결과
선택 정렬 성능 측정: 30.367183446884155
기본 정렬 라이브러리 성능 측정: 0.0012776851654052734<문제> 두 배열의 원소 교체: 문제 설명
-
동빈이는 두 개의 배열 A와 B를 가지고 있다. 두 배열은 N개의 원소로 구성되어 있으며, 배열의 원소는
모두 자연수이다 -
동빈이는 최대 K 번의 바꿔치기 연산을 수행할 수 있는데, 바꿔치기 연산이란 배열 A에 있는 원소 하나와
배열 B에 있는 원소 하나를 골라서 두 원소를 서로 바꾸는 것을 말한다 -
동빈이의 최종 목표는 배열 A의 모든 원소의 합이 최대가 되도록 하는 것이며, 여러분은 동빈이를 도와야한다
-
N, K, 그리고 배열 A와 B의 정보가 주어졌을 때, 최대 K 번의 바꿔치기 연산을 수행하여 만들 수 있는
배열 A의 모든 원소의 합의 최댓값을 출력하는 프로그램을 작성하라 -
예를 들어 N = 5, K = 3이고, 배열 A와 B가 다음과 같다고 해보자
- 배열 A = [1, 2, 5, 4, 3]
- 배열 B = [5, 5, 6, 6, 5]
-
이 경우, 다음과 같이 세 번의 연산을 수행할 수 있다
- 연산 1) 배열 A의 원소 '1'과 배열 B의 원소 '6'을 바꾸기
- 연산 2) 배열 A의 원소 '2'와 배열 B의 원소 '6'을 바꾸기
- 연산 3) 배열 A의 원소 '3'과 배열 B의 원소 '5'를 바꾸기
-
세 번의 연산 이후 배열 A와 배열 B의 상태는 다음과 같이 구성될 것이다
- 배열 A = [6, 6, 5, 4, 5]
- 배열 B = [3, 5, 1, 2, 5]
-
이때 배열 A의 모든 원소의 합은 26이 되며, 이보다 더 합을 크게 만들 수는 없다
<문제> 두 배열의 원소 교체: 문제 조건
<문제> 두 배열의 원소 교체: 문제 해결 아이디어
- 핵심 아이디어: 매번 배열 A에서 가장 작은 원소를 골라서, 배열 B에서 가장 큰 원소와 교체한다
- 가장 먼저 배열 A와 B가 주어지면 A에 대하여 오름차순 정렬하고, B에 대하여 내림차순 정렬한다
- 이후에 두 배열의 원소를 첫 번째 인덱스부터 차례로 확인하면서 A의 원소가 B의 원소보다 작을 때에만 교체를 수행한다
- 이 문제에서는 두 배열의 원소가 최대 100,000개까지 입력될 수 있으므로, 최악의 경우 O(NlogN)을 보장하는
정렬 알고리즘을 이용해야 한다
<문제> 두 배열의 원소 교체: 답안 예시 (Python)
n, k = map(int, input().split()) # N과 K를 입력 받기
a = list(map(int, input().split())) # 배열 A의 모든 원소를 입력받기
b = list(map(int, input().split())) # 배열 B의 모든 원소를 입력받기
a.sort() # 배열 A는 오름차순 정렬 수행
b.sort(reverse=True) # 배열 B는 내림차순 정렬 수행
# 첫 번째 인덱스부터 확인하며, 두 배열의 원소를 최대 K번 비교
for i in range(k):
# A의 원소가 B의 원소보다 작은 경우
if a[i] < b[i]:
# 두 원소를 교체
a[i], b[i] = b[i], a[i]
else: # A의 원소가 B의 원소보다 크거나 같을 때, 반복문을 탈출
break
print(sum(a)) # 배열 A의 모든 원소의 합을 출력<문제> 두 배열의 원소 교체: 답안 예시 (Java)
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
// N과 K를 입력받기
int n = sc.nextInt();
int k = sc.nextInt();
// 배열 A의 모든 원소를 입력받기
Integer[] a = new Integer[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
a[i] = sc.nextInt();
}
// 배열 B의 모든 원소를 입력받기
Integer[] b = new Integer[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
b[i] = sc.nextInt();
}
// 배열 A는 오름차순 정렬 수행
Arrays.sort(a);
// 배열 B는 내림차순 정렬 수행
Arrays.sort(b, Collections.reverseOrder());
// 첫 번째 인덱스부터 확인하며, 두 배열의 원소를 최대 K번 비교
for (int i = 0; i < k; i++) {
// A의 원소가 B의 원소보다 작은 경우
if (a[i] < b[i]) {
// 두 원소를 교체
int temp = a[i];
a[i] = b[i];
b[i] = temp;
}
// A의 원소가 B의 원소보다 크거나 같을 때, 반복문을 탈출
else break;
}
// 배열 A의 모든 원소의 합을 출력
long result = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
result += a[i];
}
System.out.println(result);
}
}728x90
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