[이것이 코딩 테스트다 with Python] 28강 다이나믹 프로그래밍 개요

https://www.youtube.com/watch?v=rWbjQphRE9A&list=PLVsNizTWUw7H9_of5YCB0FmsSc-K44y81&index=28

 

다이나믹 프로그래밍

• 다이나믹 프로그래밍은 동적 계획법이라고도 부른다

• 일반적인 프로그래밍 분야에서의 동적(Dynamic)이란 어떤 의미를 가질까?

  • 자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 '프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한
    메모리를 할당하는 기법'을 의미한다
  • 반면에 다이나믹 프로그래밍에서 '다이나믹'은 별다른 의미 없이 사용된 단어이다

• 다이나믹 프로그래밍은 다음의 조건을 만족할 때 사용할 수 있다

  1. 최적 부분 구조 (Optimal Substructure)
     • 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다
  2. 중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem)
     • 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다

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피보나치 수열

• 피보나치 수열 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있다

  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

• 점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미

• 피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같음

• 피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현할 수 있다
  • 프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트를 이용해 표현한다

• 피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현할 수 있다
  • 𝑛번째 피보나치 수를 f(𝑛)라고 할 때 4번째 피보나치 수 f(4)를 구하는 과정은 다음과 같다

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피보나치 수열: 단순 재귀 소스코드 (Python)

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현
def fibo(x):
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)

print(fibo(4))

실행 결과

3

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피보나치 수열: 단순 재귀 소스코드 (Java)

import java.util.*;

public class Main {

    // 피보나치 함수(Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현
    public static int fibo(int x) {
        if (x == 1 || x == 2) {
            return 1;
        }
        return fibo(x - 1) + fibo(x - 2);
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(fibo(4));
    }

}

실행 결과

3

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피보나치 수열의 시간 복잡도 분석

• 단순 재귀 함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도를 가지게 된다
• 다음과 같이 𝒇(2) 가 여러 번 호출되는 것을 확인할 수 있다 (중복되는 부분 문제)

• 피보나치 수열의 시간 복잡도는 다음과 같다
  • 세타 표기법: 𝜽(1.618・・・ᴺ)
  • 빅오 표기법: O(2ᴺ)
• 빅오 표기법을 기준으로 𝒇(30)을 계산하기 위해 약 10억가량의 연산을 수행해야 한다
• 그렇다면 𝒇(100)을 계산하기 위해 얼마나 많은 연산을 수행해야 할까?

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피보나치 수열의 효율적인 해법: 다이나믹 프로그래밍

• 다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족하는지 확인한다
  1. 최적 부분 구조: 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다
  2. 중복되는 부분 문제: 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결한다
• 피보나치 수열은 다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족한다

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메모이제이션 (Memoization)

• 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나이다
• 한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법이다
  • 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져온다
  • 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching) 이라고도 한다

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탑다운 VS 보텀업

• 탑다운(메모이제이션) 방식은 하향식이라고도 하며 보텀업 방식은 상향식이라고도 한다
• 다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식이다
  • 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부른다
• 엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미한다
  • 따라서 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아니다
  • 한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있다

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피보나치 수열: 탑다운 다이나믹 프로그래밍 소스코드 (Python)

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현 (탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
    # 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0:
        return d[x]
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

print(fibo(99))

실행 결과

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피보나치 수열: 탑다운 다이나믹 프로그래밍 소스코드 (Java)

import java.util.*;

public class Main {

    // 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 배열 초기화
    public static long[] d = new long[100];

    // 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현 (탑다운 다이나믹 프로그래밍)
    public static long fibo(int x) {
        // 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
        if (x == 1 || x == 2) {
            return 1;
        }
        // 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
        if (d[x] != 0) {
            return d[x];
        }
        // 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
        d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2);
        return d[x];
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(fibo(50));
    }
}

실행 결과

218922995834555169026

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피보나치 수열: 보텀업 다이나믹 프로그래밍 소스코드 (Python)

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

# 피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
    d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]

print(d[n])

실행 결과

218922995834555169026

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피보나치 수열: 보텀업 다이나믹 프로그래밍 소스코드 (Java)

import java.util.*;

public class Main {

    public static long[] d = new long[100];

    public static void main(String[] args) {
        // 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
        d[1] = 1;
        d[2] = 1;
        int n = 50; // 50번째 피보나치 수를 계산

        // 피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            d[i] = d[i - 1] + d[i - 2];
        }
        System.out.println(d[n]);
    }
}

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피보나치 수열: 메모이제이션 동작 분석

• 이미 계산된 결과를 메모리에 저장하면 다음과 같이 색칠된 노드만 처리할 것을 기대할 수 있다

• 실제로 호출되는 함수에 대해서만 확인해 보면 다음과 같이 방문한다

• 메모이제이션을 이용하는 경우 피보나치 수열 함수의 시간 복잡도는 O(N) 이다

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현 (탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
    print('f(' + str(x) + ')', end=' ')
    # 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0:
        return d[x]
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

fibo(6)

실행 결과

f(6) f(5) f(4) f(3) f(2) f(1) f(2) f(3) f(4)

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다이나믹 프로그래밍 VS 분할 정복

• 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복은 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용할 수 있다

  • 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황

• 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복이다

  • 다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복된다
  • 분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않는다

• 분할 정복의 대표적인 예시인 퀵 정렬을 살펴보자

  • 한 번 기준 원소(Pivot)가 자리를 변경해서 자리를 잡으면 그 기준 원소의 위치는 바뀌지 않는다
  • 분할 이후에 해당 피벗을 다시 처리하는 부분 문제는 호출하지 않는다

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다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법

• 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요하다
• 가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토할 수 있다
  • 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려해 보자
• 일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤에 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이
  큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법을 사용할 수 있다
• 일반적인 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많다